행렬 합의 제곱에서 두 가운데 항을 합칠 수 있는 때

(A+B)^2\overset{?}=A^2+2AB+B^2

E와 O는 이 글에서 쓰는 크기의 단위행렬과 영행렬이다.

A와 B는 같은 크기의 정사각행렬이다. 이 등식이 성립할 필요충분조건을 구한다. 계산이 복잡한 예를 고르기 전에 전개에 남는 곱의 순서를 적는다.

(A+B)^2=A^2+AB+BA+B^2.

따라서 질문의 등식과 비교하여 같은 양쪽 항을 빼면 BA=AB가 된다. 순서를 바꾸어도 같은 두 행렬일 때에만 가운데 항을 2AB로 합칠 수 있다. 행렬의 덧셈에서는 순서를 바꾸어도 되지만 곱셈에서 A와 B의 순서를 바꾸는 것은 별도 조건이다.

예를 들어 A=[[1,0],[0,0]], B=[[0,1],[0,0]]이면 AB=B이고 BA=O이다. 이때 (A+B)²=A+B이지만 A²+2AB+B²=A+2B이므로 1행 2열의 값이 1과 2로 다르다.

틀린 전개를 고칠 때에는 BA를 AB로 바꾼 정확한 줄을 표시하게 한다. 한 예에서 우연히 등식이 맞았다는 답만으로는 필요충분조건을 설명할 수 없다. 반대로 조건을 AB=BA로 적었으면 그 조건을 사용하여 가운데 두 항을 합치는 충분성까지 확인한다.

출처·착안: srcav, 「Grid Method Matrix Multiplication」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.