행렬 방정식의 해를 찾기 전에 가능한 오른쪽을 고른다

A=\begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}u&v\\w&z\end{pmatrix},\qquad AX=B

E와 O는 이 글에서 쓰는 크기의 단위행렬과 영행렬이다.

실수 u,v,w,z가 주어졌을 때, X가 존재할 조건과 존재할 때의 모든 X를 구한다. 네 성분을 처음부터 연립하기 전에 AX의 두 행 관계를 읽는다.

X=[[s,t],[r,k]]라고 놓으면 AX=[[s+r,t+k],[2s+2r,2t+2k]]이다. 언제나 두 번째 행은 첫 번째 행의 두 배다. 따라서 w=2u, z=2v가 필요하다.

이 조건이 맞으면 s와 t를 자유롭게 고르고 r=u−s, k=v−t로 정할 수 있다.

X=\begin{pmatrix}s&t\\u-s&v-t\end{pmatrix}\qquad(s,t\in\mathbb R).

대입하면 AX=B가 되므로 앞 조건은 충분하기도 하다. 조건이 틀리면 해가 없고, 맞으면 해가 무수히 많다. 이 A에서는 해가 딱 하나인 경우가 없다.

예를 들어 B=E라고 주면 두 번째 행이 첫 번째 행의 두 배가 아니므로 해가 없다. A가 영행렬이 아니라는 사실이 해가 있거나 하나뿐임을 보장하지 않는다. 채점에서는 수식을 많이 푼 답보다, 오른쪽 행의 관계로 불가능한 경우를 먼저 걸러 냈는지 확인한다.

출처·착안: Jo Morgan, 「Matrix Multiplication」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.