행렬의 이차식에서 두 계수를 늘 한 쌍으로 정할 수 있는가

E와 O는 이 글에서 쓰는 크기의 단위행렬과 영행렬이다.

A는 2행 2열 행렬이고 E는 같은 크기의 단위행렬이다. A가 주어지면 실수 p,q가 항상 하나씩 정해진다는 주장을 검토한다. 먼저 A=2E를 넣고, 그다음 A=[[1,1],[0,2]]를 넣는다.

A=2E이면 (4+2p+q)E=O이다. 따라서 q=−4−2p이며 p는 어떤 실수도 가능하다. 서로 다른 p,q가 같은 A에 대하여 등식을 만족한다.

두 번째 행렬에서는 A²=[[1,3],[0,4]]이다. 1행 2열을 비교하면 3+p=0이므로 p=−3이다. 1행 1열은 1+p+q=0이므로 q=2가 된다. 나머지 성분도 이 값으로 맞는다.

이 차이는 A가 E의 실수배인지에서 생긴다. 같은 A에 두 계수 쌍이 가능하다면 두 등식을 빼서 (p−p′)A+(q−q′)E=O를 얻는다. p≠p′이면 A가 E의 실수배가 되어야 한다. A가 그런 모양이 아니면 p=p′이고 이어 q=q′이다.

공식을 이용해 한 쌍을 찾는 것과 다른 쌍이 없음을 보이는 것은 다른 요구다. 계수 비교를 하기 전에 A와 E가 서로 다른 식으로 남는지 확인하도록 문항의 조건을 보완한다.

출처·착안: Matthew Simonson, 「Matrix Multiplication Made Easy」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.