E와 O는 이 글에서 쓰는 크기의 단위행렬과 영행렬이다.
모든 성분은 실수다. a+d가 가질 수 있는 값을 모두 구한다. A=E 또는 A=−E만 있다고 단정하지 않는다.
제곱하여 같은 성분을 비교하면 a²+bc=1, b(a+d)=0, c(a+d)=0, d²+bc=1이다. a+d≠0이면 가운데 두 식에서 b=c=0이다. 이어 a²=d²=1이며 합이 0이 아니므로 a=d=1 또는 a=d=−1이다.
따라서 a+d≠0일 때에는 2 또는 −2이다. a+d=0도 실제로 가능하다. A=[[1,0],[0,−1]]은 제곱하면 E가 되므로 0을 빠뜨릴 수 없다.
각 값이 가능한 예를 확인했으므로 필요조건에서 끝난 답이 아니다. a+d=0일 때에는 A가 위의 예로만 정해지는 것도 아니다. A=[[0,1],[1,0]] 역시 제곱이 E다.
수업에서는 A²=E를 보고 실수의 제곱근처럼 ±E 두 개만 쓰는 답에, 모든 성분을 비교하도록 안내한다. 제곱의 값은 같아도 한 행렬의 성분들이 하나의 부호로만 정해지는 것은 아니다.
출처·착안: Jo Morgan, 「Matrix Multiplication」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.