행렬의 거듭제곱은 성분을 각각 거듭제곱하는 계산이 아니다

n은 자연수다. n=1에서 맞는 예측을 n=2부터 검토하고, 모든 n에 대한 바른 식을 증명한다.

A²=[[1,4],[0,1]]이므로 n=2에서는 우연히 2n과 2ⁿ이 모두 4이다. 이 계산 한 번으로 예측을 확인했다고 판단하면 안 된다. A³=[[1,6],[0,1]]에서 예측의 8과 달라진다.

n=1은 맞다. n=k에서 식이 맞다고 놓고 오른쪽에 A를 곱하면 1행 2열은 1·2+2k·1=2(k+1)이 되고 다른 세 성분은 그대로다. 따라서 수학적 귀납법으로 모든 자연수 n에서 성립한다.

매번 이전 성분을 2배 하는 것이 아니라 2를 더하는 구조다. 처음 두 값이 지수식과 일치해도 연산 규칙은 다르다. 학생이 A²의 값만 보고 맞다고 답했다면 A³을 계산하게 하고, 바른 식을 쓴 학생에게는 다음 단계에서 왜 2가 더해지는지 한 칸의 곱을 적게 한다. 몇 개의 결과에서 규칙을 추측한 답과 규칙을 증명한 답을 구별할 수 있다.

출처·착안: srcav, 「Grid Method Matrix Multiplication」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.