위 조건에서 A=B가 따르는지 증명한다. 한 등식만으로 같은 C를 지우는 계산부터 하지 않는다.
x∈A를 잡고 x가 C에 속하는지 나눈다. x∈C이면 x∈A∩C이고, 두 교집합이 같으므로 x∈B다. x∉C이면 x∈A∪C=B∪C인데 C에는 없으므로 역시 x∈B다. 따라서 A⊂B다. A와 B를 바꾸어 같은 설명을 하면 B⊂A도 얻어 A=B다.
두 등식이 서로 다른 부분을 확인하고 있다. 교집합은 C 안에서, 합집합은 C 밖에서 A와 B가 같은지 알려 준다.
합집합 등식만으로는 부족하다. C={1}, A=∅, B={1}이면 두 합집합은 같지만 A≠B다. 교집합 등식만으로도 부족하다. C=∅, A={1}, B={2}이면 두 교집합은 같지만 A≠B다.
채점할 때에는 A의 원소가 B에 들어간다는 한 방향만 보인 답을 상등의 완성으로 처리하지 않는다. 두 방향의 포함과 C 안·밖의 두 경우를 확인한 답인지 읽는다. 유한집합으로 제한할 필요도 없는 증명이다.
출처·착안: spectrum, 「集合に関する基礎事項のまとめ（書きかけ）」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.