두 집합의 차집합이 같을 때 A=B인지 판단한다. 같다는 말에서 두 차집합에 같은 원소가 남아 있을 것이라고 추측한 답을 검토한다.
A−B에 원소 x가 있다고 가정하면 x는 A에 속하고 B에는 속하지 않는다. 그런데 두 차집합이 같으므로 x는 B−A에도 들어 있어야 한다. 그러면 B에 속하고 A에는 속하지 않아야 해서 모순이다.
따라서 두 차집합은 모두 공집합이다. A−B=∅이면 A의 모든 원소가 B에 들어 있어 A⊂B이고, B−A=∅이면 B⊂A다. 두 방향으로 A=B를 얻는다.
반대로 A=B이면 두 차집합이 모두 공집합이므로 처음 등식도 성립한다. 등식의 필요충분조건은 A=B다.
차집합은 순서를 바꾸면 일반적으로 결과가 다르다. 그러나 그래서 언제나 다르다고 결론 내릴 수는 없다. A=B일 때에는 둘 다 공집합으로 같다. 두 원소 목록을 숫자로 비교하는 예 하나보다, 한 원소가 양쪽 차집합에 동시에 남을 수 없다는 설명이 조건 전체를 다룬다. 이 근거를 쓰면 집합의 크기를 특정하지 않아도 증명이 끝난다.
출처·착안: banderson02, 「Always, Sometimes, Never Shapes」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.