모든 값과 어떤 값을 함께 부정하면 둘 다 바뀐다

P:\quad\text{모든 실수 }x\text{에 대해 }y^2=x\text{인 실수 }y\text{가 존재한다.}

P의 부정을 쓰고 참임을 증명한다. “어떤 x와 어떤 y에서 y²≠x이다”라고 쓴 예시 답안과 비교한다.

P가 실패하려면 제곱으로 만들 수 없는 x가 하나 존재해야 한다. 그 x에서는 어떤 y를 넣더라도 등식이 성립하지 않아야 한다.

\neg P:\quad\text{어떤 실수 }x\text{에 대해 모든 실수 }y\text{에서 }y^2\ne x.

x=−1을 고르면 모든 실수 y에서 y²≥0이므로 y²≠−1이다. 따라서 부정은 참이며 P는 거짓이다.

잘못 쓴 문장에서는 x=1, y=0도 쓸 수 있다. 하지만 x=1에는 y=1이라는 성공하는 선택이 있다. 실패하는 y 하나가 있다는 사실은 그 x에 성공하는 y가 없다는 뜻이 아니다.

부정을 표시할 때 등호만 ≠로 바꾸지 않는다. 맨 앞의 모든 x가 어떤 x로, 그 뒤의 어떤 y가 모든 y로 함께 바뀐다. x를 정한 다음에는 y 전체의 실패를 증명해야 한다는 순서를 답안에 남긴다.