P,Q는 실수 계수 다항식이다. 둘 다 상수가 아닌 경우가 가능한지 검토한다. 일반 함수에서 가능한 일을 다항식에도 그대로 적용하지 않는다.
P의 차수가 m≥1이고 최고차항이 axᵐ, Q의 차수가 n≥1이고 최고차항이 bxⁿ이라고 하자. a,b는 0이 아니다.
P의 더 낮은 차수 항은 합성해도 차수가 mn보다 낮다. 따라서 위 항을 지울 수 없고 합성한 다항식의 차수는 mn≥1이다. 상수 7과 같을 수 없다.
가능한 경우는 P가 상수 7이거나 Q가 상수 c이고 P(c)=7인 경우다. 예를 들어 P(x)=x²+3, Q(x)=2는 두 번째 경우다. P가 상수여도 Q까지 상수일 필요는 없다.
풀이에서 “Q의 값이 한 곳만 간다”는 말이 등장하면 Q가 실제 상수인지 확인한다. 다항식이라는 조건은 합성의 최고차항 계산을 가능하게 한다. 상수 7을 0으로 바꾸어도 같은 차수 논리는 유지되지만, 일반 함수로 범위를 넓히면 이 결론을 그대로 쓰지 않는다.
출처·착안: Bowen Kerins, 「Factoring Non-Monic Quadratics」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.