모든 정수 n에서 P(n)>0이다. 이 사실로 모든 실수 x에서 P(x)>0이라고 결론 내린 예시 답을 검토한다.
정수는 n≤0 또는 n≥1이다. 두 경우에서 n과 n−1의 곱은 0 이상이므로 P(n)≥1/8>0이다. 정수 입력의 양수 조건은 빠짐없이 확인된다.
하지만 실수 x=1/2을 넣으면 다음과 같다.
완전제곱식으로 쓰면 P(x)=(x−1/2)²−1/8이다. 실제로 음수가 되는 구간은 (2−√2)/4<x<(2+√2)/4다. 이 구간은 0과 1 사이에 있어 정수 입력으로는 확인할 수 없다.
시험 문항에서 “모든 정수”를 “모든 실수”로 바꾼다면 값을 몇 개 더 넣는 것만으로 충분하지 않다. 정수 사이에 있는 구간의 부호를 확인해야 한다. 이번 반례에서는 정수의 양수 조건 자체가 틀린 것이 아니라, 그 조건에서 실수 전체의 결론으로 넘어간 단계가 틀렸다.
출처·착안: DMoRanSky, 「「高中数学」易错点以及不自然处整理」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.