두 나누는 식에 겹친 인수를 두 번 더할 수 있을까

(x-1)^2\text{과 }(x-1)(x+2)\text{로 각각 나누어떨어지는 }P(x).

그러면 두 식의 곱 (x−1)³(x+2)로도 나누어떨어진다는 주장을 검토한다. 두 조건에 같은 인수 x−1이 들어 있으므로 그 횟수를 따로 더할 수 있는지 확인한다.

P(x)=(x-1)^2(x+2)

이 다항식은 두 나누는 식의 배수지만 그 곱으로는 나누어떨어지지 않는다. 나누는 식의 차수가 4인데 P의 차수는 3이고 P는 0이 아니기 때문이다.

원래 두 조건에서 반드시 따라오는 인수는 (x−1)²(x+2)다. P=(x−1)²Q로 놓으면 둘째 조건에서 P(−2)=0이다. 따라서 9Q(−2)=0이므로 Q(−2)=0, Q에는 x+2가 인수로 들어간다.

겹친 x−1은 두 조건에 나타났어도 별개의 인수 두 개가 아니다. x−1의 필요한 횟수는 더 많은 쪽인 두 번이고, 다른 인수 x+2는 한 번 남는다.

같은 조건을 다른 표현으로 적었다고 새로운 조건이 하나 더 생기는 것은 아니다. 공통 인수가 있는 두 나누어떨어짐 조건을 합칠 때에는 인수의 목록과 각 횟수를 함께 표시한다.