P+Q는 일차식이다. 두 최고차항이 지워졌으므로 PQ도 차수가 작아질 것이라는 예시 답안을 검토한다.
덧셈에서는 같은 차수 항을 합친다. x²과 −x²이 지워져 P+Q=x+1이다. 곱셈에서는 두 최고차항을 서로 곱해 −x⁴이 생긴다.
다른 항의 곱은 차수가 4보다 작으므로 −x⁴과 합쳐져 사라질 수 없다. 따라서 PQ는 차수가 4인 다항식이다.
일반적으로 0이 아닌 두 다항식의 곱은 차수가 두 차수의 합이다. 합에서는 최고차항의 계수가 더해져 0이 될 수 있지만, 곱에서는 0이 아닌 두 최고차항의 계수의 곱이 0이 될 수 없다.
P−Q는 2x²+x−1로 다시 이차식이다. 같은 두 다항식을 사용했어도 연산이 바뀌면 최고차항이 만나는 방식이 달라진다. 학생이 차수 계산을 덧셈의 규칙으로 했는지 곱셈의 규칙으로 했는지, 전개표의 가장 높은 차수 한 칸으로 먼저 확인할 수 있다.
출처·착안: Sarah Carter, 「Factoring Polynomials Using the Box Method Directions」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.