제곱을 넣은 다항식은 두 나머지 값을 한 값으로 모은다

P(x)\text{를 }x^2-1\text{로 나눈 나머지는 }ax+b.

P(x²)을 x²−1로 나눈 나머지를 구한다. 원래 나머지의 x만 x²로 바꾸어 ax²+b라고 쓴 답을 검토한다.

P(t)=(t²−1)Q(t)+at+b로 적고 t=x²를 넣는다.

P(x^2)=(x^4-1)Q(x^2)+ax^2+b.

x⁴−1은 (x²−1)(x²+1)이고, ax²+b도 a(x²−1)+(a+b)로 나눌 수 있다. 따라서 요구한 나머지는 상수 a+b다.

\boxed{a+b}.

대입으로도 확인할 수 있다. x=1과 x=−1은 제곱한 뒤 모두 1이 되므로 P(x²)의 두 값은 P(1)=a+b로 같다. 차수가 2보다 낮은 나머지는 두 점에서 같은 값을 가지므로 상수다.

치환한 ax²+b는 합성한 식의 일부로는 맞지만, 나머지로 확정할 때에는 다시 제수보다 차수가 낮아야 한다. 원래 나머지에 식을 넣은 뒤에도 한 번 더 나누는 단계가 필요하다는 점을 답안에 표시한다.