f+g와 fg는 0에서 연속이다. 그러면 f와 g도 각각 연속이라는 주장을 검토한다. 합과 곱이 연속인 두 함수에서 만들어진다는 성질의 역을 그대로 쓰지 않는다.
f의 왼쪽 값은 0이고 오른쪽 값은 1이다. g에서는 왼쪽이 1이고 오른쪽이 0이다. 둘 다 0에서 양쪽 극한이 달라 연속이 아니다.
합과 곱은 각각 상수함수라 실수 전체에서 연속이다. 두 함수의 값이 자리를 바꾸는 변화가 합과 곱에는 드러나지 않는다.
0에서 f(0)=1, g(0)=0인 것도 직접 넣어 확인한다. 극한만 상수인 것이 아니라 해당 점의 값까지 같은 상수라 실제로 연속이다.
문항을 고를 때 두 함수의 합 또는 곱이 연속이라는 결과에서 각 함수의 연속을 거꾸로 추론하게 하는지 확인한다. 한 방향의 연속 성질은 참이지만 역은 추가 조건이 필요하다. 그래프에는 두 함수가 불연속인 곳을 각각 표시한 뒤 합과 곱의 수평선을 따로 그리면 어떤 정보가 사라졌는지 보인다.
출처·착안: Lin McMullin, 「Derivative Practice – Graphs」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.