두 함수가 미분불가능해도 합과 곱은 미분가능할 수 있다

두 함수는 0에서 미분불가능하다. 그러면 합과 곱도 반드시 미분불가능이라는 주장을 검토한다. 미분 공식을 적용할 조건과 결과 함수의 실제 성질을 나눈다.

f의 0에서 왼쪽 미분계수는 −1, 오른쪽은 1이다. g에서는 각각 1,−1이다. 따라서 f′(0),g′(0)은 존재하지 않는다.

합의 미분계수는 0, 곱의 미분계수도 0에서 0이다. 결과 식을 먼저 정리하면 두 함수 모두 실수 전체에서 미분가능함을 확인할 수 있다.

f′(0)+g′(0) 또는 f′(0)g(0)+f(0)g′(0)을 쓰는 방식은 해당 값이 없어 그 점에서 직접 적용할 수 없다. 그렇다고 결과 함수의 미분계수까지 없다는 결론은 나오지 않는다.

채점에서는 미분 공식이 사용 불가능하다고 멈춘 답과 실제 합·곱의 미분가능성을 판정한 답을 구별한다. 원래 두 함수의 그래프에 있는 뾰족한 모양이 서로 상쇄되거나 곱에서 다른 식으로 바뀌는지를 확인한다.

출처·착안: Lin McMullin, 「Derivative Practice – Graphs」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.