f는 실수 전체에서 정의된 함수다. 0에서 미분가능하다는 조건만 주어지고, c는 실수다. 가능한 f를 모두 구하자. 다른 점에서의 미분가능성은 가정하지 않는다.
x=0을 넣으면 f(0)=2f(0)이므로 f(0)=0이다. 이제 x≠0을 하나 고정하고, 입력을 절반씩 줄인다.
각 등호는 주어진 식에 x/2, x/4 등을 넣어 얻는다. n이 커지면 x/2ⁿ은 0에 가까워진다. f(0)=0이고 0에서의 미분계수가 c이므로 오른쪽 분수는 c로 수렴한다. 그런데 왼쪽은 n과 관계없이 같은 값이다. 따라서 f(x)/x=c다.
x=0에서도 이 식이 맞고, 어떤 실수 c를 골라도 원래의 식과 f′(0)=c를 만족한다. 필요조건과 실제로 가능한 함수의 확인이 모두 끝난다.
미분가능을 연속으로 바꾸어도 같은 결론일까? f(x)=|x|은 연속이고 f(2x)=2f(x)를 만족하지만 하나의 직선이 아니다. 0 왼쪽의 f(h)/h는 −1, 오른쪽은 1이라 미분계수가 존재하지 않는다.
학생이 처음부터 f(2x)=2f(x)의 양변을 미분했다면, 그 단계에서 필요한 미분가능성이 어디에 주어졌는지 표시하게 하자. 이번 증명은 고정한 x의 비율을 0 근처의 입력으로 옮겨, 주어진 한 점의 미분계수만 쓴다.
출처·착안: すい, 「【中高生向け】結局、微分って」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.