두 제곱의 합이 일정해도 두 미분계수가 모두 0은 아니다

f(x)^2+g(x)^2=1,\qquad f(0)=1,\quad g(0)=0.

f,g는 실수 전체에서 미분가능하다. f′(0),g′(0)을 각각 결정할 수 있는지 판단한다. 일정한 값의 도함수가0이므로 두 함수의 미분계수도 모두0이라는 답을 검토한다.

등식을 미분하고0을 넣으면 다음과 같다.

2f(x)f'(x)+2g(x)g'(x)=0\quad\Rightarrow\quad2f'(0)=0.

따라서 f′(0)=0이다. 하지만 g′(0) 앞에는 g(0)=0이 곱해져 그 값에 관한 정보가 사라진다. 이 등식만으로 g′(0)=0이라고 할 수 없다.

f(x)=\cos(cx),\qquad g(x)=\sin(cx)\qquad(c\in\mathbb R).

이 두 함수는 모든 조건을 만족하고 f′(0)=0,g′(0)=c다. c는 임의의 실수이므로 g′(0)은 모든 실수값이 가능하다.

같은 항등식을 미분해도 그 점의 함수값에 따라 남는 미분계수 정보가 다르다. 0이 곱해진 항에서 알 수 없는 값을0으로 채웠는지, 실제로 값이0이라고 증명했는지를 구별하여 채점한다.

출처·착안: Lin McMullin, 「Derivative Practice – Graphs」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.