배수나 누수는 없다. 이 펌프로 용량5L의 물통을 가득 채우는 시각을 구하자. 모든 시각에 물이 계속 들어오므로 언젠가5L에 도달한다는 설명을 확인한다.
t분 후 물의 양은 다음과 같다.
유한한 t에서 e^(−t)>0이므로 V(t)<5다. 양은 계속 증가하고 t가 한없이 커지면5로 가지만, 실제 유한한 시각에는 가득 차지 않는다. 한없이 가까워지는 값과 얻는 최댓값은 다르다.
같은 펌프와 초기량으로 용량만4L인 물통을 쓰면 상황이 달라진다. 5−3e^(−t)=4에서 e^(−t)=1/3이므로 t=ln3분에 처음 가득 찬다. 펌프가 멈추지 않는다는 조건만으로 채울 수 있는 모든 용량이 정해지지 않는다.
이 모델의 물통은5L에서 넘치지 않으므로 위 적분식이 모든 유한한 시간에 적용된다. ‘증가한다’, ‘극한이5다’, ‘5를 실제로 갖는다’라는 세 문장을 따로 판정하게 한다.
출처·착안: Lin McMullin, 「The Old Pump」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.