인접한 두 항의 차를 더하면 수열의 극한이 남는다

실수 수열a_n에 대해 이 급수가 수렴할 조건을 원래 수열의 극한으로 나타낸다. 원래 급수∑a_n의 수렴 여부와도 구별한다.

N번째 부분합은(a₁−a₂)+(a₂−a₃)+…+(a_N−a_(N+1))=a₁−a_(N+1)이다. 따라서 a_n이 유한한 값L로 수렴하면 이 급수는a₁−L로 수렴한다.

반대로 차의 급수 부분합이S로 수렴하면 a_(N+1)=a₁−S_N이므로 원래 수열도a₁−S로 수렴한다. 두 방향이 모두 성립하여 정확히 같은 조건이다.

그러나 ∑a_n 자체가 수렴한다는 뜻은 아니다. a_n=2+2^(−n)이면 원래 항은2로 가므로 그 급수는 수렴하지 않는다. 차의 급수는a₁−2=1/2로 수렴한다.

차를 더하는 과정에서 지워지는 항과 남는 마지막 항을 표시한다. 원래 수열의 극한, 원래 항의 급수, 차의 급수는 세 가지 다른 대상이다. 답에서 어느 것이 수렴한다고 말했는지 주어를 남긴다.

출처·착안: Lin McMullin, 「Good Question 14」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.