밑과 진수의 자리를 바꾼 지수식은 방정식보다 항등식이다

a^{\log_b x}=x^{\log_b a}\qquad (a>0,\ b>0,\ b\ne1,\ x>0).

a,b는 조건을 만족하는 상수다. 이 방정식의 실수 해를 구할 때 x=a만 적는 답을 검토한다. 서로 자리를 바꾼 두 식이 언제 같은지 확인한다.

두 식을 같은 자연로그로 나타내면 다음과 같다.

a^{\log_b x}=e^{(\ln a)(\ln x)/\ln b} =x^{\log_b a}.

따라서 허용되는 모든 양수 x가 해다. a와b가 같을 필요도 없다. a=4,b=2라면 양쪽은 모든x>0에서 x²로 같다.

a=1이나 x=1도 각각 지수0 또는 밑1이 들어가는 정의된 표현이므로 제외할 필요가 없다. 제외해야 할 밑은 로그의 밑b=1이며, 지수식의 밑a=1과 같은 조건이 아니다.

수업에서는 방정식이라고 주어졌다는 이유로 몇 개의 해만 기대하지 않도록 한다. 먼저 두 표현이 항등적으로 같은지 변환하고, 어떤 밑과 진수에 각각의 조건을 적용했는지 표시한다.