0이 아닌 점에서 미분가능한지는 주어지지 않았다. 이 최소한의 조건으로0의 미분계수를 정할 수 있는지 판단한다.
q(h)=[f(h)−f(0)]/h로 놓으면 q(−h)=−q(h)다. 우함수 조건이 분자는 같게 만들고 분모의 부호를 바꾼다.
미분가능 조건으로 h가0에 가까워질 때 두 분수의 극한은 같은 유한값L이어야 한다. 위 관계에서 L=−L이므로 L=0이다. 따라서 f′(0)=0이다.
도함수를 구간 전체에서 정의하고 그 그래프의 대칭을 사용한 것이 아니다.0의 미분계수 정의만으로 얻었다. f(0)의 높이도0일 필요는 없다. f(x)=x²+7은 실제로 두 조건과 f′(0)=0을 만족한다.
미분가능 조건을 빼면 |x|가 반례다. 함수는 우함수이지만 양쪽 기울기가−1과1로 달라0에서 미분계수가 없다. 답안에서 대칭이 강제하는 부호 관계와 극한의 존재를 별도로 표시한다.
출처·착안: banderson02, 「Always, Sometimes, Never Shapes」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.