0에서의 두 조건이 필요한 미분 관계를 제곱합으로 확인한다

f''(x)+f(x)=0\quad(x\in\mathbb R),\qquad f(0)=f'(0)=0.

f는 실수 전체에서 두 번 미분가능하다. 조건을 만족하는 함수를 모두 구한다. 후보0을 대입한 뒤 다른 함수가 없다는 근거까지 찾는다.

E(x)=f(x)²+f′(x)²로 놓고 미분한다.

E'(x)=2f'(x)\{f(x)+f''(x)\}=0.

평균값 정리로 E는 상수이고 E(0)=0이므로 E(x)=0이다. 두 제곱은 각각0 이상이라 f(x)=0이 모든 실수에서 성립한다. 이 후보는 원래 관계와 0에서의 두 조건도 만족한다.

f(0)=0만 남기면 sinx가 다른 후보다. f′(0)=0만 남기면 cosx도 가능하다. 0에서의 두 조건이 같은 정보의 반복인 것은 아니다.

새로운 방정식 풀이 명칭 없이 제곱합을 미분한 등식과 상수함수의 조건으로 해결한다. 함수값과 미분계수를 함께 사용한 지점을 표시하면, 두 조건 중 하나를 삭제한 반례도 같은 표에서 확인할 수 있다.

출처·착안: Adam Glesser, 「Integration By Parts 1」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.