f는 실수 전체에서 두 번 미분가능하다. 두 조건을 동시에 만족하는 함수가 존재하는지 판단한다. 어떤 유한한 구간의 그림만으로 전체 실수에서 가능하다고 끝내지 않는다.
f″<0이므로 f′는 엄밀히 감소한다. 따라서 f′(a)=m≠0인 점a가 있다. 모든 곳에서0이면 이계도함수도0이 되어 조건과 모순이다.
평균값 정리와 도함수의 감소를 쓰면 x≠a에서 f(x)<f(a)+m(x−a)다. x>a에서는 중간 기울기가m보다 작고, x<a에서는 중간 기울기가m보다 크지만 음수인 x−a를 곱해 같은 방향을 얻는다.
m>0이면 충분히 작은 음수 방향의x에서 이 직선값이 음수가 된다. m<0이면 충분히 큰 양수 방향에서 음수가 된다. 그보다 작은 f값도 음수여서 f≥0과 모순이다.
따라서 그런 함수는 없다. 유한 구간에서는1−x²처럼 두 조건을 함께 만족하는 부분을 그릴 수 있다. 문제의 실수 전체라는 범위를 지우면 결론이 달라진다.
출처·착안: すい, 「【中高生向け】結局、微分って」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.