f는(−1,1)에서 정의되고0 이외에서는 미분가능하다.0에서는 연속이라고 하자. 주어진 도함수의 극한으로 f′(0)을 결정한다.
0이 아닌 작은 h에 대해0과h 사이에 평균값 정리를 적용하면 [f(h)−f(0)]/h=f′(c_h)이며 c_h는 두 입력 사이에 있다. 양수와 음수 h 모두 같은 방식으로 쓸 수 있다.
h가0으로 가면 c_h도0으로 가므로 오른쪽은L로 수렴한다. 따라서 f′(0)=L이다. 도함수의 극한을 함수의 미분계수로 연결할 때0에서의 연속성을 썼다.
연속 조건을 삭제하면 f(x)=x(x≠0), f(0)=1이 반례다.0 이외의 도함수는 항상1이지만0의 분수는1−1/h여서 유한한 극한이 없다.
도함수 그래프의 빈칸에 극한값을 적는 것과 원래 함수가 그 점에서 미분가능한 것은 다르다. 양쪽 구간의 평균값 정리에서 필요한 원래 함수의 끝점 연속을 먼저 확인한다.
출처·착안: Lin McMullin, 「Derivative Practice – Graphs」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.