매개변수 a를 바꿔도 이 이차식의 판별식은 항상 같다. 그렇다면 두 실근 사이의 거리도 일정하다는 주장에 동의할 수 있는가? a=1과 a=2를 먼저 비교하고 모든 양의 a에 대한 식으로 판단한다.
전개하면 ax²−2ax+a−1/a이므로 판별식은 4a²−4a(a−1/a)=4이다. 그러나 fₐ(x)=0을 정리하면 (x−1)²=1/a²이다. a>0이므로 두 근은 1±1/a이고 그 거리는 2/a로 변한다. a=1일 때는 근이 0과 2, a=2일 때는 1/2과 3/2여서 거리가 각각 2와 1이다. 일반 이차방정식의 두 근 차에는 √D뿐 아니라 최고차항 계수의 절댓값도 들어간다. 판별식은 두 실근의 존재를 알려 주지만 근 사이 간격을 단독으로 결정하지는 않는다.
교사 질문: 판별식이 커졌는데도 두 근이 가까워지는 예를 만들려면 어느 계수를 함께 바꿔야 할까?
출처·착안: Discriminating. 위 문항의 조건·수치·풀이와 교사 질문은 새로 작성했다.