슬라이더 t를 움직일 때 모든 그래프가 지나는 점을 찾아라. 두 공통점 중 하나가 모든 포물선의 꼭짓점이라는 주장은 맞는가? t=0도 같은 그림 종류인지 함께 확인한다.
fₜ(x)를 t에 관한 식으로 보면 t의 계수는 (x−1)²−(x−1)=(x−1)(x−2)이다. t가 달라도 값이 유지되려면 이 계수가 0이어야 하므로 공통점의 x좌표는 1과 2뿐이다. 각각의 y좌표는 2와 3이다. 반면 t≠0일 때 꼭짓점의 x좌표는 1−(1−t)/(2t)로 t에 따라 변한다. 예를 들어 t=1의 꼭짓점은 (1,2)이지만 t=−1의 꼭짓점 x좌표는 2이다. 또한 t=0에서는 f₀(x)=x+1이라는 직선이 나온다. 고정된 점, 움직이는 꼭짓점, 곡선의 종류를 별개 정보로 읽어야 한다. t=0이면 이차항이 없어져 일차식이 되므로 꼭짓점이라는 말을 그대로 적용하지 않는다.
교사 질문: 슬라이더의 움직임을 보기 전에 t항을 묶으면 어떤 관찰을 미리 예측할 수 있는지 물어보자.
출처·착안: Quadratic Functions (Graph & Equation Anatomy). 위 문항의 조건·수치·풀이와 교사 질문은 새로 작성했다.