초기 상태 (3,2)에서 이 두 버튼만 임의로 눌러 (2,3)에 도달할 수 있는가? 좌표 교환 버튼은 없다. 두 상태의 최대공약수가 모두 1이라는 사실만으로 가능하다고 답한 설명을 검토한다.
U₂에서는 p에서 짝수 2q를 빼고 q는 그대로다. V₂에서도 q에서 짝수 2p를 빼고 p는 그대로다. 따라서 각 좌표의 홀짝이 따로 유지된다. 처음에는 첫 좌표가 홀수이고 두 번째가 짝수이므로 어떤 순서로 눌러도 같은 홀짝 쌍이다. 목표는 짝수·홀수 쌍이어서 도달할 수 없다. 두 버튼은 최대공약수도 보존하지만, 그것이 이 버튼 집합에서 도달 가능성을 모두 결정하지는 않는다. 허용된 연산을 바꾸면 추가 불변량이 생길 수 있다. 여기서는 음수 좌표도 허용하므로 단순히 수가 음수가 된다는 이유가 아니라 모든 단계에 적용되는 홀짝 논증으로 결론 내린다.
교사 질문: 좌표 교환 버튼을 하나 더 허용했을 때 홀짝 반례가 여전히 막는지 따로 판단하게 하자.
출처·착안: How to Untwist Your Fractions. 위 문항의 조건·수치·풀이와 교사 질문은 새로 작성했다.