도함수의 기울기로 한 걸음씩 그린 그래프는 얼마나 빗나갈까

N\in\mathbb N,\ N\ge1,\quad f(0)=1,\quad f\prime(x)=2x,\qquad x_j=\frac jN,\ y_0=1,\ y_{j+1}=y_j+\frac{2x_j}{N}

0부터 1까지 N번에 나누어 현재 점의 도함수 기울기로 직선을 한 걸음씩 그린다. 마지막 근사값 y_N과 실제 f(1)을 비교하라. N을 두 배로 늘리면 마지막 오차는 어떻게 바뀌는가?

y_N=2-\frac1N,\qquad f(1)=2,\qquad f(1)-y_N=\frac1N

반복식의 증가량을 모두 더하면 y_N=1+(2/N²)∑ⱼ₌₀ᴺ⁻¹j이다. 정수 합 N(N−1)/2를 넣으면 1+(N−1)/N=2−1/N이다. 도함수 2x와 초기값 1을 만족하는 정확한 함수는 f(x)=x²+1이어서 f(1)=2다. 왼쪽 끝의 기울기를 각 구간에 사용해 증가하는 기울기를 작게 잡았으므로 근사값은 실제값보다 작다. N을 두 배로 하면 오차 1/N도 절반이 된다. 컴퓨터가 규칙을 정확히 반복하는 것과 그 규칙이 원래 곡선을 정확히 재현하는 것은 별개의 검증이다.

교사 질문: N=2와 N=4의 점들을 직접 그려 보고 기울기 선택 위치를 오른쪽 끝으로 바꾸면 오차 방향이 어떻게 달라지는지 물어보자.

출처·착안: Aider à la compréhension des fonctions avec un logiciel : les fonctions définies par un algorithme. 위 문항의 조건·수치·풀이와 교사 질문은 새로 작성했다.