A에서 시작해 정확히 100번 화살표를 따른다. 도착할 수 있는 상태는 몇 개이며, 서로 다른 상태 순서의 경로는 몇 개인가? B를 거친 길과 C를 거친 길은 서로 다른 경로로 센다.
세 번 이동하면 A→B 또는 C→D→A라 항상 A로 돌아온다. 길이 세 묶음마다 두 선택지가 있고 서로 다른 선택은 서로 다른 경로다. 100=3·33+1이므로 99번까지 33묶음에서 2³³개 경로를 만들고 마지막 한 번에 B 또는 C를 골라 전체 경로는 2³⁴개다. 하지만 도착 상태는 B,C 두 개뿐이다. 서로 다른 과거의 경로가 같은 D나 A로 합쳐져도 경로 기록이 같아지는 것은 아니다. 큰 길이에 대한 계산은 전수 나열 대신 세 단계 복귀라는 주기를 사용한다. 도착 상태의 개수와 경로의 경우의 수를 서로 다른 대상으로 정의했다.
교사 질문: 99번과 101번에서는 도착 상태 수와 경로 수가 각각 어떻게 달라지는지 묶음의 나머지로 확인하자.
출처·착안: Senior Mathematical Challenge 2025 — Question 18. 위 문항의 조건·수치·풀이와 교사 질문은 새로 작성했다.