f는 [0,1]에서 연속이고, 0≤x<y≤1이면 f(x)<f(y)를 만족한다. I의 부호를 결정하라. 첫 적분값이0이므로 x를 곱한 적분도0이라는 설명을 검사한다.
f(0)≥0이면 내부에서 f>0여서 적분이 양수다. f(1)≤0이면 내부에서 f<0여서 적분이 음수다. 따라서 f(0)<0<f(1)이며 연속성과 증가로 f(c)=0인 c가 내부에 하나 있다.
첫 적분이0이므로
x<c에서는 두 인수가 모두 음수이고 x>c에서는 모두 양수다. c를 제외하면 곱이 양수이며 연속이므로 적분도 엄격히 양수다.
예를 들어 f(x)=x−1/2는 첫 적분이0이지만 I=1/3−1/4=1/12다. f가 증가한다는 정보가 없으면 이 부호는 보장되지 않는다. −f를 택하면 첫 적분은 여전히0이고 I는 음수가 된다. 채점에서는0인 정적분을 이용해 c를 뺄 수 있는 이유와 곱의 부호가 한 방향으로 바뀐 이유를 둘 다 확인한다.
출처·착안: Lin McMullin, 「Reading the Derivative’s Graph」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.