f,g가 실수 전체에서 한 번 미분가능하다고 하자. f가 모든 입력에서0이거나 g가 모든 입력에서0이어야 한다는 주장을 판정하라. 각 입력에서의 둘 중 하나와 전체 함수의 둘 중 하나를 구별한다.
다음 두 함수를 택한다.
어느 입력에서도 둘 중 하나는0이므로 곱은 항상0이다. 하지만 f(1)=1이고 g(−1)=1이어서 어느 함수도 전체에서0이 아니다.0에서 각 함수값은0이고 미분계수의 정의에 나오는 분수는 h 또는0이므로 양쪽 극한이0이다. 두 함수는 요구한 미분가능 조건도 만족한다.
연속성을 덧붙이는 것만으로 이 반례를 제외할 수 없다.0인 쪽 함수가 입력에 따라 바뀌기 때문이다. 다항식으로 제한하면 결론이 달라진다.0이 아닌 두 다항식의 곱은 최고차항의 곱이 남아 항상0일 수 없다. 같은 식을 보고 결론을 낼 때에는 함수의 종류와 조건이 어느 입력마다 적용되는지 함께 읽는다.
출처·착안: 電気魚, 「ある命題の真偽に関する問題について」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.