로그값의 평균과 평균을 넣은 로그는 언제 같은가

x>0,\quad y>0,\quad a>0,\ a\ne1,\qquad A=\frac{\log_a x+\log_a y}{2},\quad B=\log_a\frac{x+y}{2}.

A와B의 크기를 밑 a에 따라 비교하고 등호 조건을 구하라. 평균을 먼저 구하는 것과 로그를 먼저 구하는 순서를 바꾸어도 같은지 묻는다.

(x−y)²≥0에서 (x+y)²≥4xy이고 두 수가 양수이므로 (x+y)/2≥√(xy)다. 로그의 성질로 A=log_a√(xy)이다.

a>1이면 로그가 증가하므로 A≤B, 0<a<1이면 감소하므로 A≥B다. 어느 밑에서도 등호는 x=y일 때만 성립한다.

a>1:\ A\le B,\qquad0<a<1:\ A\ge B, \qquad A=B\Longleftrightarrow x=y.

x=1,y=9에서는 A=log_a3, B=log_a5다. 서로 다른 양수값을 같은 비중으로 평균내도 그 값에 로그를 씌우는 순서는 결과를 바꾼다. 학생이 로그 합을 log_a(x+y)로 묶었는지, 평균의2를 로그 밖과 안에서 같은 역할로 썼는지 확인한다. 비교 방향을 정하는 마지막 단계에는 밑의 범위를 다시 넣어야 한다.

출처·착안: Lin McMullin, 「Average Value of a Function」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.