P,Q는 계수가 모두 실수인 다항식이다. 가능한 두 다항식을 모두 구하라. x²+1은 실수에서0이 아니므로 제곱을 취한 식끼리 자유롭게 맞출 수 있다는 설명을 검토한다.
Q가 항상0이면 P도 항상0이다. 둘 다0이 아니라고 가정하면 이 항등식은 복소수 입력에서도 성립한다. i를 인수정리로 읽고 P,Q에서 x−i가 각각 k번,m번 들어 있다고 하자. 해당 인수를 더는 뺄 수 없을 때 남은 식의 i 대입값은0이 아니다.
왼쪽에는 x−i가2k번 들어간다. 오른쪽의 x²+1=(x−i)(x+i)에서 x+i는 i 대입값이2i로0이 아니므로 오른쪽에는2m+1번 들어간다. 따라서
이어야 하지만 짝수와 홀수는 같을 수 없다. 결국 가능한 식은 P=Q=0뿐이다.
실수에서 분모가0이 아니라는 사실과 다항식의 제곱으로 나타낼 수 있다는 사실은 다르다. 학생이 P/Q=√(x²+1)을 썼다면, 그것이 다항식 P,Q의 존재를 증명한 것인지 되묻는다. 이 문항에서는 복소수 i에서의 인수 개수가 제곱의 조건을 구별한다.
출처·착안: Sarah Carter, 「Shared Factors – A Quadratics Puzzle」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.