행렬 방정식에서 왼쪽 A를 지울 수 있는 정확한 조건

A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix},\qquad AX=AY.

모든 성분은 실수이며 X,Y는2행2열 행렬이다. 어떤 X,Y에서도 이 등식으로 X=Y를 결론 낼 수 있는 a,b,c,d의 조건을 구하라. 각 열의 두 연립식을 이용해 증명한다.

ad−bc≠0이면 X−Y의 각 열을 (p,q)로 놓아 ap+bq=0, cp+dq=0을 얻는다. 첫 식에 d, 둘째 식에 b를 곱해 빼면 (ad−bc)p=0이다. 같은 방식으로 (ad−bc)q=0이어서 각 열이0이고 X=Y다.

ad−bc=0이면 A의 첫 행이0이 아닌 경우 w=(b,−a)로 놓는다. 이 열은0이 아니며 Aw=(0,cb−da)=O다. 첫 행이0이고 둘째 행이0이 아니면 w=(d,−c)를 고른다. A=O라면 w=(1,0)을 고른다.

w를 첫 열로,0을 둘째 열로 둔 X와 Y=O는 서로 다르지만 AX=AY다. 따라서

AX=AY\Rightarrow X=Y\ \text{가 모든 }X,Y\text{에 성립}\quad\Longleftrightarrow\quad ad-bc\ne0.

왼쪽 행렬이0이 아닌지만 확인한 답에는 그 행렬에 의해 사라지는0 아닌 열이 있는지 묻는다. 필요한 조건은 성분의 위 식이며, 반례에서는 첫 행이0인 경우까지 남겨야 한다.

출처·착안: Jo Morgan, 「Matrix Multiplication」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.