f는 [0,1]에서 연속이다. 누적량 F의 적분 I가 반드시1/2인지 검토하고 I를 f의 한 정적분으로 바꾸라.
F′=f이고 F(1)=1이다. 부분적분으로
f=1이면 F=x이고 I=1/2다. 하지만 f=2x이면 F=x²이고 I=1/3이다. 두 함수의 전체 적분은 모두1인데 누적량의 적분은 다르다.
처음에 생긴 양은 이후의 여러 x에서도 F 안에 남고, 끝 가까이에 생긴 양은 짧은 구간에만 남는다. 새 식의1−x는 이 차이를 나타낸다. 전체 양1만 알면 어느 위치에서 양이 생겼는지를 정하지 못하므로 I도 정해지지 않는다.
학생이 끝값1과 시작값0의 평균만 썼다면 F가 직선이라는 조건이 있는지 확인하게 한다. 누적 함수라는 이름만으로 그래프가 직선이 되는 것은 아니다. F를 미분하는 줄과 부분적분의 끝값을 실제로 계산한 줄을 같이 채점한다.
출처·착안: Adam Glesser, 「Integration by Parts 2」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.