번호를 비중으로 준 합을 n²으로 나누면 극한이 절반이다

a_n\longrightarrow L,\qquad b_n=\frac1{n^2}\sum_{k=1}^{n}k a_k.

n은 양의 정수이고 L은 실수다. b_n의 극한을 구하라. 항이L로 가므로 이 식도 평균L이라는 답을 검토한다.

a_k=L+(a_k−L)로 나누면 일정한 부분은 L·n(n+1)/(2n²)로 L/2에 간다. 나머지가0으로 감을 확인한다.

임의의 ε>0에 대해 k>N이면 |a_k−L|<ε로 고른다. 처음 N항의 k|a_k−L| 합을 C로 고정하면

\left|b_n-\frac{L(n+1)}{2n}\right| \le\frac C{n^2}+\frac\varepsilon{n^2}\sum_{k=N+1}^{n}k \le\frac C{n^2}+\frac{\varepsilon(n+1)}{2n}.

ε를 얼마든지 작게 정할 수 있으므로 나머지는0으로 가고 극한은L/2다. a_k가 항상2인 경우에도 b_n=(n+1)/n→1로 빠르게 검산된다.

진짜 번호 비중의 평균이라면 분모는1+2+⋯+n이어야 한다. 이번 n²은 그 비중 합의 약 두 배라 결과가 절반이 된다. 평균이라는 말을 붙이기 전에 비중의 총합과 분모가 같은지 확인하게 한다.

출처·착안: Lin McMullin, 「Average Value of a Function」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.