각 인수가 1로 가도 늘어나는 인수의 곱은 1로 가지 않는다

b_n=\prod_{k=2}^{n}\left(1-\frac1{k^2}\right)\qquad(n=2,3,4,\ldots).

곱 기호는 k=2부터 n까지의 유한한 인수들을 곱한다는 뜻이다. b_n의 극한을 구하라. 각 인수가1에 가까워지므로 전체 곱도1이라는 설명을 검토한다.

각 인수를 (k−1)(k+1)/k²로 인수분해하여 두 곱으로 나눈다.

b_n=\left(\frac12\frac23\cdots\frac{n-1}n\right) \left(\frac32\frac43\cdots\frac{n+1}n\right) =\frac1n\frac{n+1}2=\frac{n+1}{2n}.

따라서 b_n→1/2다. n=2에서3/4, n=3에서2/3으로 처음 값을 직접 곱해 확인할 수 있다. 유한한 개수의 인수가 각각1로 가는 경우와, n을 늘릴 때 새 인수가 계속 추가되는 경우는 다르다.

첫 번호가2인 조건도 유지한다. k=1의 인수를 포함하면 처음부터0을 곱해 모든 곱이0이 된다. 마지막 식이 비슷해 보여도 곱한 인수의 시작 번호를 바꾸면 다른 수열이다.

학생이 인수마다 극한1을 쓴 줄에서는 몇 개를 곱한 뒤 극한을 취했는지 적게 한다. 이 문항은 유한한 곱을 먼저 정확히 정리한 뒤 n을 늘리는 순서로 풀어야 한다.

출처·착안: Bowen Kerins, 「Factoring Non-Monic Quadratics」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.