E는 우함수, O는 기함수가 되도록 만들 수 있는지 증명하고, 그런 두 함수가 하나뿐인지 확인하라. f의 연속이나 미분가능성은 가정하지 않는다.
다음 두 식으로 놓는다.
두 식의 합은f다. x의 부호를 바꾸면 E(−x)=E(x), O(−x)=−O(x)이므로 요구한 성질을 만족한다.0에서는 O(0)=0, E(0)=f(0)이다.
다른 분해가 가능하다고 해도 f(−x)=E(x)−O(x)를 얻는다. 이 식과 원래의 f(x)=E(x)+O(x)를 더하고 빼면 위의 두 식으로 각각 정해진다. 따라서 두 함수는 하나뿐이다.
예를 들어 f=x³+x²+2이면 E=x²+2, O=x³이다. 하지만 이번 공식은 다항식에만 해당하지 않는다. 함수값 f(x),f(−x)를 얻을 수 있으면 어느 함수에도 적용된다. 학생이 항의 차수만 보고 분리했다면, 일반 함수에서 사용할 수 있는 정의식과 각 대칭 조건을 직접 확인하게 한다.
출처·착안: banderson02, 「Always, Sometimes, Never Shapes」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.