연속인 주기함수의 한 주기에서 얻은 최댓값은 전체의 최댓값이다

f는 실수 전체에서 연속이다. 실수 전체에서 최댓값과 최솟값을 실제로 얻는지 증명하라. 정의역이 끝없이 넓다는 이유로 값이 얻어지지 않을 것이라는 설명을 검토한다.

닫힌구간 [0,T]에서 연속이므로 최댓값 M과 최솟값 m을 실제로 얻는다. 임의의 실수 x에서 정수배 kT를 빼서0≤x−kT<T가 되게 할 수 있다. 주기 조건으로 f(x)=f(x−kT)이며 이 값은 m과M사이다.

따라서 [0,T]에서 얻은 두 값이 실수 전체의 최댓값·최솟값이기도 하다.0과T에서의 값이 같아도 이 증명에는 문제가 없다.

연속을 빼면 주기만으로 결론을 낼 수 없다. 정수 n과 n<x<n+1에서 f(x)=1/(x−n), 정수 입력에서는 f=0으로 정의하자. 이 함수는 주기1이지만 각 정수의 오른쪽에서 값이 한없이 커져 최댓값이 없다.

채점에서는 임의의 x를 한 주기 안으로 옮기는 줄과 그 닫힌구간에서 두 값을 실제로 얻는 근거를 본다. 주기가 있다는 말과 연속이라는 말이 서로 다른 역할을 한다.

출처·착안: Shaun Carter, 「Quadratic Vertex Form Card Sort」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.