주기의 마지막 입력을 빼면 연속 주기함수는 일대일이 될까

f(x+T)=f(x)\quad(x\in\mathbb R),\qquad T>0,\qquad0\le x<T.

f는 실수 전체에서 연속이다. 마지막 입력 T를 뺀 주어진 범위에 제한하면 일대일함수가 될 수 있는지 증명하라.0과T의 반복만 없애면 충분하다는 답을 검토한다.

상수함수는 이미 일대일이 아니다. 상수가 아니면 어떤0<c<T에서 f(c)≠f(0)이다. f(T)=f(0)이고, f(0)과f(c)의 중간값을 h로 고른다.

사잇값의 정리를 [0,c]와[c,T]에 각각 적용하면 f(u)=h=f(v)인 입력0<u<c<v<T를 얻는다. 두 입력이 모두 주어진 범위에 있고 서로 달라 일대일이 아니다.

\text{연속 주기함수는 }[0,T)\text{에서도 일대일이 아니다.}

연속을 빼면 정수 n에 대해 n≤x<n+1에서 f(x)=x−n으로 정의한 함수가 반례다. 주기1이며 [0,1)에서는 f=x여서 일대일이다. 정수에서의 이어짐은 연속이 아니다.

첫 반복점 하나를 제외한 것과 나머지 모든 출력의 중복을 없앤 것은 다르다. 채점에서는 두 구간에서 같은 중간값을 얻는 입력이 끝점이 아니라 내부임을 확인하게 한다. 그래서 T를 제외한 조건도 두 입력을 제거하지 못한다.