너비10칸의 빈 판에 네 칸 블록을n개 놓았다. 꽉 찬 가로줄L개가 지워지고 남은 칸 수가R개다. 4n=10L+R을 설명하라. 다시 완전히 빈 판이 되려면n에 어떤 조건이 필요한가? 블록 수 조건만으로 성공을 보장할 수 있는지도 판단하라.
들어온 칸은4n개다. 지워진 줄은줄당10칸이라10L개, 판에 남은 칸은R개이므로4n=10L+R이다. 빈 판으로 돌아오면R=0이라2n=5L이다. 2와5가 서로소이므로n은5의 배수여야 한다.
이는 필요한 면적 조건이다. 블록의 모양, 이동 가능성, 생긴 구멍까지 고려하지 않았으므로5의 배수라는 사실만으로 실제 배치를 구성했다고 할 수 없다. 필요조건을 통과한 뒤에도 게임의 기하 조건을 확인해야 한다.
너비8칸이면 같은 산술 필요조건은 무엇인가? 그것만으로 어떤 블록도 항상 배치 가능하다는 결론이 나오는가?
정답을5의 배수라고 쓴 학생에게 충분조건인지 표시하게 한다. 보존식에서 남긴 정보와 지운 정보를 목록으로 비교하면 산술 검사만으로 플레이를 판단하는 오류가 보인다.
착안 원문: Cheating at Tetris. 네 칸 블록과 가로줄 제거 규칙에서 면적의 산술 필요조건을 추출했다.