합동인 정오각형만 사용해 평면을 빈틈없이 덮으려 한다. 타일끼리 만날 때는 한 변 전체 또는 꼭짓점끼리 만나야 하며, 한 꼭짓점이 다른 타일의 변 중간에 놓일 수는 없다. 한 꼭짓점에 모이는 타일 수를 m이라 할 때 가능한 양의 정수 m이 있는가? 모든 타일을 길이비 1/10로 축소하면 결론이 달라지는가?
정오각형의 한 내각은 180×(5−2)/5=108도다. 주어진 만남 규칙에서는 한 꼭짓점 주변을 m개의 같은 내각이 채워야 하므로 108m=360이어야 한다. 이 식의 해는 m=10/3으로 정수가 아니다. 따라서 이런 방식으로 평면을 덮을 수 없다.
길이를 1/10로 줄이면 넓이는 1/100이 되지만 내각은 그대로 108도다. 꼭짓점의 각 조건도 그대로여서 축소는 결론을 바꾸지 않는다. 정삼각형·정사각형·정육각형에서는 같은 검사로 각각 m=6,4,3이 나온다. 다만 임의의 타일에 대해 한 꼭짓점의 각 조건을 통과했다는 사실만으로 전체 평면을 덮는 구성이 증명되지는 않는다.
먼저 한 꼭짓점 주변에 모일 수 있는 타일 수를 정수로 세게 한다. 넓이 변화 계산 뒤에도 남는 각 조건을 비교하면 축소가 모든 장애물을 없애지는 않음을 확인할 수 있다.
넓이를 맞추는 조건과 꼭짓점 주변의 각을 맞추는 조건 중, 이 실패를 직접 설명하는 것은 어느 쪽인가?
착안 원문: An aperiodic monotile exists!. 원문이 정오각형으로 평면을 덮을 수 없다고 설명한 장면에서, 변 전체끼리 만나는 조건을 명시하고 꼭짓점의 각 합과 축소의 효과를 검사했다.