독립인 두 평균의 차이를 추정한다. 모집단 표준편차는1과2로 알려져 있고, 표본 수를n과100−n으로 배분한다. 차이의 추정 분산 V(n)=1/n+4/(100−n)을 조건으로 준다. 실수 범위0<n<100에서 최소점을 구하고 정수 배분도 결정하라.
측정 수가 제한돼 있다면 변동이 큰 항목에 더 많은 횟수를 배분할 수 있다. 같은 횟수라는 공평한 모양이 추정의 분산을 최소화하지는 않는다.
V′(n)=−1/n²+4/(100−n)²다. V′=0에서100−n=2n이므로 n=100/3이다. 그보다 작은n에서 미분값은음수, 큰n에서는양수라 최소점이다. 최소 분산은9/100이다.
정수 후보33과34를 비교하면 V(33)=199/2211, V(34)=101/1122이며 전자가작다. 따라서 첫 항목33회, 둘째67회다. 반씩50회면 분산은1/50+4/50=0.1로 더 크다. 이는 주어진 독립·분산 조건에서의 최적화이며 모든 조사에 같은 배분이 맞는다는 뜻이 아니다.
동일 횟수 배분과 최적 배분을 둘 다 검산하게 한다. 표준편차 비1:2가 최적 표본 수 비와 연결되는 이유를 식에서 찾아 설명한다.
착안 원문: 7.1.4. What are confidence intervals?. 추정 불확실성이 표본 수와 분산에 의존하는 점을 제한된 측정 예산의 배분으로 확장했다.
두 표준편차가 같으면 최적 배분이 어떻게 바뀌는가? 같은 횟수가 최적인 조건을 밝혀라.