길이l=2d인바늘의중심은선간격에걸쳐균등하고,선과이루는예각θ도[0,π/2]에서균등하다고하자. 적어도한선을만날조건부 확률은 min(1,2sinθ)다. 짧은 바늘 식2l/(πd)이불가능한 값임을보이고 주어진 조건부 확률을적분해올바른값을구하라.
공식의값이1보다커진다면확률이이상한것이아니라공식의조건부터확인해야한다. 긴 바늘에서는어떤방향에서중심위치와관계없이선과만나는영역이생긴다.
짧은식은4/π>1이므로확률일 수없다. 2sinθ가1이되는각도는π/6이다. 따라서 확률은(2/π)[∫₀^(π/6)2sinθ dθ+∫_(π/6)^(π/2)1 dθ]다.
첫적분은2−√3,둘째는π/3이어서결과는2/3+(4−2√3)/π≈0.837이다. 긴 바늘에서교차횟수를세는사건과적어도한번교차하는사건도구별해야한다. 이문항은후자의확률을계산한다.
l=d이면분할점은어디로가고짧은 바늘공식과일치하는가?
min을지우고적분한식이어떤영역에서잘못됐는지색칠하게한다. 값이1을넘는검산이모형의기하조건을찾는단서가된다.
착안 원문: Buffon’s Needle Problem. 짧은 바늘과 긴 바늘의 공식 조건 차이를 확률의 상한과 적분 영역으로 검산했다.