P(x)=c의 양수 실근 개수를 c∈R에 따라 구하라. 계수 조건만으로 근의 식까지 구해야 한다는 풀이 계획을 검토한다.
x>0에서는 P′(x)=a₁+2a₂x+⋯+na_nx^{n−1}>0이다. 따라서 P는 양수 입력에서 엄격히 증가한다. x→0+에서 P→a₀이고 x→∞에서는 P→∞다.
c>a₀이면 연속과 사잇값의 정리로 존재하고, 엄격한 증가로 다른 양수 근은 없다. c=a₀에서는 x=0이 맞아 보이지만 양수 입력에 포함되지 않으며 모든 x>0에서 P>a₀다.
이 결론은 음수 실근에 대한 주장이 아니다. 음수 입력에서는 각 항의 부호가 달라질 수 있다. 해의 정확한 식을 구하지 않아도 존재·하나뿐임·경계를 각각 증명할 수 있다. 상수 다항식은 a_n>0,n≥1 조건에서 제외되어 있음을 함께 확인한다.
출처·착안: Bowen Kerins, 「Factoring Non-Monic Quadratics」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.