이 조건에 (가) f가 일대일함수, (나) f의 치역이 실수 전체라는 조건을 각각 더하면 f가 항등함수인지 판단하라.
(가)에서는 f의 두 입력f(x)와x가 같은 출력을 갖는다. 일대일 성질로 f(x)=x다. (나)에서는 임의의 y에 대해 y=f(x)인 x가 있다. 그러면 f(y)=f(f(x))=f(x)=y다.
거꾸로 항등함수는 두 추가 조건과 원래의 식을 모두 만족한다. 추가 조건을 둘 다 지우면 f=|x|가 반례다. 두 번 넣어도 같지만 실수 전체로 출력하지 않고 서로 다른 x와−x를 같은 값으로 보낸다.
일대일 조건은 같은 출력에서 입력을 같게 만드는 줄에 쓰이고, 치역 조건은 모든 y를 f(x)로 나타내는 줄에 쓰인다. 이름이 비슷하다고 같은 증명으로 적지 않는다. 추가 조건을 어떻게 사용했는지 두 짧은 풀이를 비교한다.
출처·착안: banderson02, 「Always, Sometimes, Never Shapes」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.