E는 같은 크기의 단위행렬이다. 해가 있는지 판단하라. 네 성분을 미지수로 놓고 연립하기 전에 1행 1열과 2행 2열 성분을 더한다.
A=[[a,b],[c,d]], X=[[p,q],[r,s]]이면 AX의 두 성분 합은 ap+br+cq+ds다. XA에서는 pa+qc+rb+sd이므로 같은 값이다. 따라서 AX−XA의 두 성분 합은 언제나0이다.
E의 두 성분 합은2여서 맞을 수 없다. 오른쪽을 [[1,0],[0,−1]]로 바꾸면 A=[[0,1],[0,0]], X=[[0,0],[1,0]]이 실제 해다.
그러나 오른쪽의 두 성분 합이0이면 어떤 A에서도 해가 있다는 뜻은 아니다. A=E일 때는 AX−XA=O이므로 같은 오른쪽에도 해가 없다. 한 번 더하는 계산은 불가능을 보이는 데 충분하지만, 가능을 보장하려면 실제 A,X를 제시하거나 추가 조건을 읽어야 한다.
출처·착안: Matthew Simonson, 「Matrix Multiplication Made Easy」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.