정적분 값이 정해진 곡선에서 도함수 제곱의 적분을 줄인다

f(0)=f(1)=0,\quad\int_0^1f(x)\,dx=M,\quad J=\int_0^1[f'(x)]^2\,dx.

f는 [0,1]에서 도함수가 연속인 함수이고 M은 실수다. J의 최솟값과 그 값을 만드는 모든 f를 구하라.

부분적분하면 M=∫₀¹(1/2−x)f′(x)dx다. 끝값이0이므로 경계항이 지워진다. 이제 제곱을 전개한다.

\int_0^1[f'-12M(1/2-x)]^2dx=J-12M^2\ge0.

등호는 연속인 제곱 안의 식이 항상0일 때다. f′=12M(1/2−x)를 적분하고 f(0)=0을 사용한다.

\boxed{\min J=12M^2,\qquad f(x)=6Mx(1-x).}

실제 이 함수의 정적분 값은 M이고 J는12M²다. M=0도 포함되어 f=0이 유일하게 등호를 만든다. 음수 M을 처음부터 제외할 이유도 없다. 모양이 대칭이라는 그림만으로 최소를 정하지 않고, 제곱으로 쓴 차와 등호를 만드는 도함수를 함께 남긴다.