넓이가 1인 연속 그래프의 x를 곱한 적분은 끝값을 얻지 못한다

f\ge0,\quad f\text{는 }[0,1]\text{에서 연속},\quad\int_0^1f=1,\quad m=\int_0^1xf(x)\,dx.

가능한 m의 범위를 정확히 구하라. 0≤x≤1이므로 0≤m≤1이라는 답에서 양끝의 달성 여부를 확인한다.

m=0이면 연속인 xf의 적분이0이라 x>0에서 f=0이다. 끝점에서도 연속이므로 f=0이 되어 넓이1과 모순이다. m=1도 (1−x)f를 사용하면 같은 모순이다.

반대로 임의의 0<m<1에서 0<ε<min(m,1−m)을 고른다. |x−m|≤ε에서는 f=(ε−|x−m|)/ε²이고 그 밖에서는0으로 정의한다.

\int_0^1f=1,\quad\int_0^1(x-m)f=0,\qquad\boxed{0<m<1.}

삼각형의 밑변2ε,높이1/ε로 넓이는1이다. m 양쪽 대칭이 두 번째 적분을0으로 만든다. 모든 내부 값을 실제 함수로 만들었으므로 끝값 제외만 보인 답보다 범위 설명이 완결된다. 한 점에 높이를 몰아놓는 그림은 연속함수의 정적분 조건에 맞는 실제 예인지 확인한다.

출처·착안: Lin McMullin, 「The Old Pump」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.