도함수의 절댓값이 1 이상이면 증가인지 감소인지도 한쪽으로 정해진다

f가 반드시 일대일 대응인지 판단하라. 도함수의 부호가 정해지지 않았다는 이유로 서로 다른 구간에서 오르내릴 수 있다는 답을 검토한다. 공역은 실수 전체다.

만일 두 점의 도함수 부호가 다르면 f 또는 −f가 그 사이에서 내부 최소를 갖는다. 양끝의 도함수 부호가 −,+인 함수를 고르면 양끝이 최소일 수 없기 때문이다. 그 최소점의 도함수0은 절댓값 조건에 어긋난다.

따라서 모든 곳에서 f′≥1이거나 모든 곳에서 f′≤−1이다. 평균값의 정리로 각각 엄격히 증가하거나 감소하며, 입력 간격만큼은 함수값의 차가 생긴다.

한쪽 입력 끝에서는 함수값이∞로, 다른 쪽에서는−∞로 간다. 연속과 사잇값의 정리로 치역은 실수 전체이며 각 값의 입력은 하나다. f=|x|는 반례로 쓸 수 없다.0에서 미분가능하지 않아 원래 전제에 맞지 않는다.

출처·착안: Lin McMullin, 「Derivative Practice – Graphs」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.